সম্ভাবনা অপেক্ষক সম্পর্কিত কতিপয় সমস্যা

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - পরিসংখ্যান - পরিসংখ্যান ২য় পত্র | | NCTB BOOK
13
13

সম্ভাবনা অপেক্ষক সম্পর্কিত সমস্যাগুলো

সম্ভাবনা অপেক্ষক (Probability Function) হলো দৈব চলকের মানগুলোর সম্ভাবনা বন্টনের একটি ফাংশন। নিচে সম্ভাবনা অপেক্ষক সম্পর্কিত কয়েকটি সমস্যা এবং সমাধান দেওয়া হলো:


সমস্যা ১: বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের জন্য সম্ভাবনা অপেক্ষক নির্ণয়

একটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হয়েছে। XX দৈব চলকটি ছক্কার মুখের সংখ্যা নির্দেশ করে। ছক্কাটি ন্যায়সঙ্গত হওয়ায় প্রতিটি মুখের সম্ভাবনা সমান। P(X=x)P(X=x)-এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:

ছক্কা নিক্ষেপের সম্ভাব্য ফলাফল: X=1,2,3,4,5,6X=1,2,3,4,5,6
প্রতিটি মানের জন্য P(X=x)=16P(X=x)=16

সম্ভাবনা অপেক্ষক:
P(X=x)={16,x1,2,3,4,5,6 0,অন্যথায়।P(X=x)={16,x1,2,3,4,5,6 0,


সমস্যা ২: সম্ভাবনা অপেক্ষকের যাচাইকরণ

নিচের দৈব চলকের জন্য P(X=x)P(X=x)-এর সম্ভাবনা একটি বৈধ অপেক্ষক কিনা যাচাই করুন।
P(X=x)={0.2,x=1 0.3,x=2 0.5,x=3 0,অন্যথায়।P(X=x)={0.2,x=1 0.3,x=2 0.5,x=3 0,

সমাধান:

সম্ভাবনা অপেক্ষক বৈধ হওয়ার শর্ত:

  1. 0P(X=x)10P(X=x)1, প্রতিটি xx-এর জন্য।
  2. সম্ভাবনার যোগফল ১ হওয়া উচিত:
    xP(X=x)=0.2+0.3+0.5=1xP(X=x)=0.2+0.3+0.5=1

উভয় শর্ত পূরণ হওয়ায় এটি একটি বৈধ সম্ভাবনা অপেক্ষক।


সমস্যা ৩: একটি নির্দিষ্ট মানের সম্ভাবনা নির্ণয়

একটি বাক্সে ৫টি লাল বল এবং ৩টি নীল বল আছে। একটি বল এলোমেলোভাবে তোলা হলে, X=1X=1 যদি বলটি লাল হয় এবং X=0X=0 যদি বলটি নীল হয়। P(X=1)P(X=1) এবং P(X=0)P(X=0) নির্ণয় করুন।

সমাধান:

মোট বলের সংখ্যা: 5+3=85+3=8

  • লাল বলের সম্ভাবনা: P(X=1)=58P(X=1)=58
  • নীল বলের সম্ভাবনা: P(X=0)=38P(X=0)=38

সমস্যা ৪: বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ণয়

একটি দৈব চলক XX-এর জন্য P(X=x)P(X=x) নিচের মতো দেওয়া হয়েছে:
P(X=x)={0.2,x=1 0.5,x=2 0.3,x=3P(X=x)={0.2,x=1 0.5,x=2 0.3,x=3
E(X)E(X) নির্ণয় করুন।

সমাধান:

গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্র:
E(X)=xxP(X=x)E(X)=xxP(X=x)

এখন, E(X)E(X)-এর মান নির্ণয়:
E(X)=(10.2)+(20.5)+(30.3)=0.2+1.0+0.9=2.1


সমস্যা ৫: সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন যাচাইকরণ

ধরা যাক f(x)=kx, যেখানে x[0,2], একটি সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন (PDF)। k-এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:

PDF-এর মোট ক্ষেত্রফল ১ হওয়া উচিত:
20f(x)dx=1

এখন f(x)=kx বসিয়ে সমাধান করি:
20kx,dx=1

k20x,dx=1

k[x22]20=1

k(222022)=1

k2=1k=12

সুতরাং, f(x)=12x


সমস্যা ৬: বিন্যাস অপেক্ষক (CDF) নির্ণয়

একটি দৈব চলক X-এর সম্ভাবনা ঘনত্ব f(x) নিচের মতো দেওয়া হয়েছে:
f(x)={2x,0x1 0,অন্যথায়।
এর জন্য F(x) বিন্যাস অপেক্ষক নির্ণয় করুন।

সমাধান:

CDF-এর সংজ্ঞা:
F(x)=xf(t)dt

0x1-এর জন্য:
F(x)=x02t,dt

F(x)=[t2]x0=x2

সুতরাং:
F(x)={0,x<0 x2,0x1 1,x>1


সারসংক্ষেপ

উপরোক্ত সমস্যাগুলো সম্ভাবনা অপেক্ষকের বিভিন্ন দিক যেমন, বৈধতা যাচাই, গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ণয়, এবং বিন্যাস অপেক্ষক সংক্রান্ত ধারণাগুলো পরিষ্কারভাবে তুলে ধরে। এগুলো পরিসংখ্যান ও সম্ভাবনা তত্ত্বের মূল ধারণা নিয়ে কাজ করার ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ।

Promotion