সম্ভাবনা অপেক্ষক (Probability Function) হলো দৈব চলকের মানগুলোর সম্ভাবনা বন্টনের একটি ফাংশন। নিচে সম্ভাবনা অপেক্ষক সম্পর্কিত কয়েকটি সমস্যা এবং সমাধান দেওয়া হলো:
একটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হয়েছে। XX দৈব চলকটি ছক্কার মুখের সংখ্যা নির্দেশ করে। ছক্কাটি ন্যায়সঙ্গত হওয়ায় প্রতিটি মুখের সম্ভাবনা সমান। P(X=x)P(X=x)-এর মান নির্ণয় করুন।
ছক্কা নিক্ষেপের সম্ভাব্য ফলাফল: X=1,2,3,4,5,6X=1,2,3,4,5,6।
প্রতিটি মানের জন্য P(X=x)=16P(X=x)=16।
সম্ভাবনা অপেক্ষক:
P(X=x)={16,x∈1,2,3,4,5,6 0,অন্যথায়।P(X=x)={16,x∈1,2,3,4,5,6 0,অন্যথায়।
নিচের দৈব চলকের জন্য P(X=x)P(X=x)-এর সম্ভাবনা একটি বৈধ অপেক্ষক কিনা যাচাই করুন।
P(X=x)={0.2,x=1 0.3,x=2 0.5,x=3 0,অন্যথায়।P(X=x)={0.2,x=1 0.3,x=2 0.5,x=3 0,অন্যথায়।
সম্ভাবনা অপেক্ষক বৈধ হওয়ার শর্ত:
উভয় শর্ত পূরণ হওয়ায় এটি একটি বৈধ সম্ভাবনা অপেক্ষক।
একটি বাক্সে ৫টি লাল বল এবং ৩টি নীল বল আছে। একটি বল এলোমেলোভাবে তোলা হলে, X=1X=1 যদি বলটি লাল হয় এবং X=0X=0 যদি বলটি নীল হয়। P(X=1)P(X=1) এবং P(X=0)P(X=0) নির্ণয় করুন।
মোট বলের সংখ্যা: 5+3=85+3=8
একটি দৈব চলক XX-এর জন্য P(X=x)P(X=x) নিচের মতো দেওয়া হয়েছে:
P(X=x)={0.2,x=1 0.5,x=2 0.3,x=3P(X=x)={0.2,x=1 0.5,x=2 0.3,x=3
E(X)E(X) নির্ণয় করুন।
গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্র:
E(X)=∑xx⋅P(X=x)E(X)=∑xx⋅P(X=x)
এখন, E(X)E(X)-এর মান নির্ণয়:
E(X)=(1⋅0.2)+(2⋅0.5)+(3⋅0.3)=0.2+1.0+0.9=2.1
ধরা যাক f(x)=kx, যেখানে x∈[0,2], একটি সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন (PDF)। k-এর মান নির্ণয় করুন।
PDF-এর মোট ক্ষেত্রফল ১ হওয়া উচিত:
∫20f(x)dx=1
এখন f(x)=kx বসিয়ে সমাধান করি:
∫20kx,dx=1
k∫20x,dx=1
k[x22]20=1
k⋅(222−022)=1
k⋅2=1⟹k=12
সুতরাং, f(x)=12x।
একটি দৈব চলক X-এর সম্ভাবনা ঘনত্ব f(x) নিচের মতো দেওয়া হয়েছে:
f(x)={2x,0≤x≤1 0,অন্যথায়।
এর জন্য F(x) বিন্যাস অপেক্ষক নির্ণয় করুন।
CDF-এর সংজ্ঞা:
F(x)=∫x−∞f(t)dt
0≤x≤1-এর জন্য:
F(x)=∫x02t,dt
F(x)=[t2]x0=x2
সুতরাং:
F(x)={0,x<0 x2,0≤x≤1 1,x>1
উপরোক্ত সমস্যাগুলো সম্ভাবনা অপেক্ষকের বিভিন্ন দিক যেমন, বৈধতা যাচাই, গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ণয়, এবং বিন্যাস অপেক্ষক সংক্রান্ত ধারণাগুলো পরিষ্কারভাবে তুলে ধরে। এগুলো পরিসংখ্যান ও সম্ভাবনা তত্ত্বের মূল ধারণা নিয়ে কাজ করার ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ।
Read more